Question

8．已知函数f（x）=e^x-x²+2ax．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出导数，若f（x）是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，分离参数构造函数，求出函数的最值即可得到．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-2x+2，∵f′（1）=e，即k=e，f（1）=e+1，
∴所求切线方程为y-（e+1）=e（x-1），即ex-y+1=0，
（2）f′（x）=e^x-2x+2a，
∵f（x）在R上单调递增，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴a≥x-$\frac{{e}^{x}}{2}$在R上恒成立，
设g（x）=≥x-$\frac{{e}^{x}}{2}$，
则g′（x）=1--$\frac{{e}^{x}}{2}$，
令g′（x）=0，解得x=ln2，
当x∈（-∞，ln2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）max=g（ln2）=ln2-1，
∴a≥ln2-1，
∴实数a的取值范围为[ln2-1，+∞）

点评 本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档题．