Question

18．设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+x³）-1，求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 根据函数f（x）是R上的奇函数，则有f（0）=0，f（-x）=-f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x（1+x³）-1，可求x∈（-∞，0）时的解析式．

解答 解：由题意，函数f（x）是R上的奇函数，则有f（0）=0，f（-x）=-f（x），
当x＞0时，f（x）=x（1+x³）-1，
那么：x＜0时，则-x＞0，有f（-x）=-x（1-x³）-1，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）=x（1-x³）+1，
故得f（x）在R上的解析式为$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x（1+{x^3}）-1}\\ 0\\{x（1-{x^3}）+1}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x＞0}\\{x=0}\\{，x＜0}\end{array}$．

点评 本题考查了分段函数的解析式的求法，利用了函数是奇函数这性质．