Question

8．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若PA=AB=2，求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取PB的中点为G，连接AG，FG，推导出EF∥AG，由此能证明EF∥平面PAB．
（2）由V_P-AEF=V_F-PAE，能求出三棱锥P-AEF的体积．

解答 证明：（1）取PB的中点为G，连接AG，FG，
∵E，F分别为AD，PC的中点，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，
∴GF$\underset{∥}{=}$AE，∴AEFG是平行四边形，∴EF∥AG，
∵EF?平面PAB，AG?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
解：（2）∵PA=AB=2，PA⊥底面ABCD，
∴三棱锥P-AEF的体积${V_{P-AEF}}={V_{F-PAE}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．