Question

9．已知p：方程$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率e∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）．
（1）若椭圆$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1的焦点和双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的顶点重合，求实数m的值；
（2）若“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由双曲线方程可知双曲线的焦点在x轴上，进一步可得椭圆的焦点在x轴上，求出椭圆的半焦距与双曲线的实半轴长，列等式求得m值；
（2）由方程$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率e∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$）分别求出m的范围，结合“p∧q”是真命题，取交集得答案．

解答 解：（1）由双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，得m＞0，且a²=5，a=$\sqrt{5}$．
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1的焦点和双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的顶点重合，
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1的焦点在x轴上，且a²=9-m，b²=2m，则$c=\sqrt{9-3m}$，
∴$\sqrt{9-3m}=\sqrt{5}$，解得m=$\frac{4}{3}$；
（2）∵方程$\frac{{x}^{2}}{9-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2m}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴9-m＞2m＞0，即0＜m＜3，
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率e∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{5+m}{5}∈$（$\frac{3}{2}，2$），即$\frac{5}{2}＜m＜5$，
若“p∧q”是真命题，则$\frac{5}{2}$＜m＜3．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查命题的真假判断与应用，是中档题．