Question

13．椭圆C；$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，坐标系原点O到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若经过点N（0，t）的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且$\overrightarrow{PN}$=3$\overline{NQ}$，求△AON（点o为坐标系原点）周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：3a²=4b²，由三角形OAB的面积公式可知：$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，代入即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，求得t=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，?当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，$\overrightarrow{PN}=3\overline{NQ}$，则x₁=-3x₂，代入上式可得${x_1}=\frac{-12kt}{{4{k^2}+3}}$，${x_2}=\frac{4kt}{{4{k^2}+3}}$，
求得：${k^2}=\frac{{9-3{t^2}}}{{16{t^2}-12}}$，则$\frac{{{t^2}（{3-{t^2}}）}}{{4{t^2}-3}}＞0$，即可求得t的取值范围，由△AON的周长$l=2+|t|+\sqrt{{t^2}+4}$，$t∈（{-\sqrt{3}}\right.，\left.{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$是偶函数，由t的取值范围，即可求得△AON周长的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆C；$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
∵椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：3a²=4b²，…（1分）
又∵坐标系原点O到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
由三角形OAB的面积公式可知：$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，…（2分）
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\sqrt{{a^2}+\frac{3}{4}{a^2}}$，a=2，$b=\sqrt{3}$，
椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（4分）
（Ⅱ）?当直线l斜率不存在时，
∵经过点N（0，t）的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，$\overrightarrow{PN}=3\overline{NQ}$．
∴$点N为椭圆短轴的四等分点，t=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（5分）
?当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+t，
又设直线l与椭圆C的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
∴$由\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+t\end{array}\right.得（4{k^2}+3）{x^2}+8ktx+4{t^2}-12=0$，
∴△＞0，即4k²-t²+3＞0，（*）
${x_1}+{x_2}=-\frac{8kt}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{t^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$…（7分）
又∵$\overrightarrow{PN}=3\overline{NQ}$，
∴x₁=-3x₂，代入上式可得${x_1}=\frac{-12kt}{{4{k^2}+3}}$，${x_2}=\frac{4kt}{{4{k^2}+3}}$$\frac{-12kt}{{4{k^2}+3}}•\frac{4kt}{{4{k^2}+3}}=\frac{{4{t^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
化简得：16k²t²+3t²-12k²-9=0，
∴${k^2}=\frac{{9-3{t^2}}}{{16{t^2}-12}}$带入（*）得$\frac{{{t^2}（{3-{t^2}}）}}{{4{t^2}-3}}＞0$，
即又t≠0，
∴（3-t²）（4t²-3）＞0
解得；$-\sqrt{3}＜t＜-\frac{{\sqrt{3}}}{2}或\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜t＜\sqrt{3}$，…（9分）
综上所述实数t的取值范围为：$（{-\sqrt{3}}\right.，\left.{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$，…（10分）
又△AON的周长$l=2+|t|+\sqrt{{t^2}+4}$，$t∈（{-\sqrt{3}}\right.，\left.{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]∪[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$是偶函数．
∴当$t∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$时，$l=2+t+\sqrt{{t^2}+4}$在$[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\sqrt{3}}）$上单调递增，
∴$l∈[{2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\right.+\frac{{\sqrt{19}}}{2}，\left.{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}）$，
∴△AON周长的取值范围为[2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{19}}{2}$，2+$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$）．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．