Question

1．设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在区间[0，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数的极值点，列出方程组即可求出a，b的值；
（2）利用导函数，判断函数的单调性，然后求解极值以及端点值，即可得到函数的最值．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=1 及x=2 取得极值，
则有f′（1）=0，f′（2）=0．
即 $\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$
解得a=-3，b=4．….4分
（2）由（1）可知f（x）=2x³-9x²+12x+8c，
f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0；
当x∈（2，3）时，f′（x）＞0…6分
则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c…8分
最小值为f（0）=8c，最大值为f（3）=8c…10分

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．