Question

11．已知函数f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}x+m$，其中e为自然对数的底数，m，n∈R．
（1）若n=2时方程f（x）=g（x）在[-1，1]上恰有两个相异实根，求m的取值范围；
（2）若T（x）=f（x）•g（x），且m=1-$\frac{n}{2}$，求T（x）在[-1，1]上的最大值；
（3）若m=-$\frac{15}{2}$，求使f（x）＞g（x）对?x∈R都成立的最大正整数n．

Answer 1

分析 （1）n=2时，方程f（x）=g（x）可化为m=e^x-2x；求导m′=e^x-2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；
（2）T（x）=f（x）g（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$），求导e^x（$\frac{n}{2}$x+1），从而确定函数的最大值；
（3）由题意，f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}$x-$\frac{15}{2}$，令F（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0恒成立；从而化为最值问题．

解答 解：（1）当n=2时，方程f（x）=g（x）可化为m=e^x-x，
设h（x）=e^x-x，
∴h′（x）=e^x-1，
∴当x∈[-1，0）时，h′（x）＜0，函数m单调递减，
当x∈（0，1]时，h′（x）＞0；函数m单调递增，
∴h（x）_min=h（0）=1，m（-1）=$\frac{1}{e}$+1，m（1）=e-1，
∵方程f（x）=g（x）在[-1，1]上恰有两个相异实根，
∴$\frac{1}{e}$＜m≤e-1，或m=1，
故m的取值范围为（$\frac{1}{e}$+1，e-1]∪{1}．
（2）T（x）=f（x）g（x）
=e^x（$\frac{n}{2}$x+m）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$）；
故T′（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1）；
①当n≥0时，x∈[-1，1]时，T'（x）＞0，
T（x）在[-1，1]上单调递增，T（x）_max=T（1）=e；
②当-1＜-$\frac{2}{n}$＜1，即-2＜n＜2时，x∈[-1，-$\frac{2}{n}$）时，T'（x）＞0，T（x）递增；
x∈（-$\frac{n}{2}$，1]时，T'（x）＜0，T（x）递减；
∴x=-$\frac{n}{2}$时T（x）取得极大值，也为最大值，T（x）_max=T（-$\frac{n}{2}$）=-$\frac{n}{2}$e${\;}^{-\frac{2}{n}}$；
③当-$\frac{n}{2}$≥1，即-2≤n＜0时，x∈[-1，1]时，T'（x）≥0，T（x）递增，
∴T（x）_max=T（1）=e；
综上，当n≥-2时，T（x）_max=e；当n＜-2时，T（x）_max=-$\frac{n}{2}$e${\;}^{-\frac{2}{n}}$；
（3）由题意，f（x）=e^x，g（x）=$\frac{n}{2}$x-$\frac{15}{2}$；
∴F（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0恒成立；
∴F′（x）=e^x-$\frac{n}{2}$；
故F（x）在（-∞，ln$\frac{n}{2}$）上是减函数，
在（ln$\frac{n}{2}$，+∞）上是增函数；
故可化为F（ln$\frac{n}{2}$）＞0；
即$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$＞0；
令G（n）=$\frac{n}{2}$（1-ln$\frac{n}{2}$）+$\frac{15}{2}$＞（1-ln）+；
故G′（n）=-$\frac{1}{2}$（ln$\frac{n}{2}$+$\frac{n}{2}$+1）＜0；
故G（n）是[1，+∞）上的减函数，
而G（2e²）=-e²+$\frac{15}{2}$＞0；
G（14）=7（1-ln7）+$\frac{15}{2}$＞0；
G（15）=7.5（1-ln7.5）+$\frac{15}{2}$＜0；
故最大正整数n为14．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道综合题．