Question

2．已知函数f（x）=$\frac{ln（{x}^{2}-2x+a）}{x-1}$．
（1）当a=1时，讨论f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）．
①求实数a的取值范围；
②若关于x的不等式f（x）＜（x-1）•e^x对任意的x∈（1，+∞）都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数直接确定单调区间；
（2））①只需x²-2x+a＞0在（-∞，1）∪（1，+∞）恒成立即可；
②不等式f（x）＜（x-1）•e^x对任意的x∈（1，+∞）都成立?ln（x²-2x+a）＜（x-1）²e^x对任意的x∈（1，+∞）都成立．
令g（x）=ln（x²-2x+a）-（x-1）²e^x，x∈（1，+∞），只要g（x）_max＜0  即可．

解答 解：（1）当当a=1，x∈（1，+∞）时，f（x）=$\frac{ln（{x}^{2}-2x+a）}{x-1}$=$\frac{2ln（x-1）}{x-1}$．
f′（x）=$\frac{2-2ln（x-1）}{x-1}$=0⇒x=e+1，
x∈（1，e+1）时，f′（x）＞0，x∈（e+1，+∞），f′（x）＜0，
函数f（x）在（e+1，+∞）上的单调递减，在∈（1，e+1）递增．
（2）①∵f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），∴x²-2x+a＞0在（-∞，1）∪（1，+∞）恒成立，∴a≥1；
②不等式f（x）＜（x-1）•e^x对任意的x∈（1，+∞）都成立?ln（x²-2x+a）＜（x-1）²e^x对任意的x∈（1，+∞）都成立．
令g（x）=ln（x²-2x+a）-（x-1）²e^x，x∈（1，+∞）.$g′（x）=\frac{2x-2}{{x}^{2}-2x+a}-{e}^{x}（{x}^{2}-1）$=（x-1）[$\frac{2}{{x}^{2}-2x+a}-（x+1）{e}^{x}$]
 令h（x）=$\frac{2}{{x}^{2}-2x+a}-（x+1）{e}^{x}$∵$y=\frac{2}{{x}^{2}-2x+a}在（1，+∞）递增，y=（x+1）^{2}{e}^{x}$在（1，+∞）递减，
∴h（x）在（1，+∞）递减，∴$h（x）＜h（1）=\frac{2}{a-1}-2e$．
    当h（1）=$\frac{2}{a-1}-2e≤0$时，即a$≥1+\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）递减，
∴g（x）＜g（1）=ln（a-1）≤0即可⇒a≤2，综上：1+$\frac{1}{e}$≤a≤2符合题意．
    当h（1）＞0时，即1≤a＜1+$\frac{1}{e}$时，存在x₀＞1，使h（x₀）=$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}-2x+a}-（{x}_{0}+1）{e}^{{x}_{0}}=0$，
x∈（1，x₀）时，h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）时，h（x）＜0，
g（x）在（1，x₀）递增，在（x₀，+∞）递减，∴g（x）_max=g（x₀）=ln（x₀²-2x₀+a）-（x₀-1）²e^x₀=ln$\frac{2}{{e}^{{x}_{0}}（{x}_{0}+1）}-（{x}_{0}-1）^{2}{e}^{{x}_{0}}＜0$恒成立，即1≤a＜1+$\frac{1}{e}$符合题意．
所以综上：关于x的不等式f（x）＜（x-1）•e^x对任意的x∈（1，+∞）都成立，实数a的取值范围：[1，2]

点评 本题考查了利用导数处理函数单调性的基本方法，及构造新函数处理函数不等式恒成立问题的基本技巧，属于难题．