Question

6．若数列{a_n}满足$（{2n+3}）{a_{n+1}}-（{2n+5}）{a_n}=（{2n+3}）（{2n+5}）lg（{1+\frac{1}{n}}）$，且a₁=5，则数列$\left\{{\frac{a_n}{2n+3}}\right\}$的第100项为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 1+lg99
• D． 2+lg99

Answer 1

分析 将已知等式两边同除以（2n+3）（2n+5）化简得到递推公式，设${b}_{n}=\frac{{a}_{n}}{2n+3}$，利用累加法和递推公式求出b_n，将n=100代入求出b₁₀₀，即可得到答案．

解答 解：因为$（2n+3）{a}_{n+1}-（2n+5）{a}_{n}=（2n+3）（2n+5）lg（1+\frac{1}{n}）$，
所以两边同除以（2n+3）（2n+5）得，
$\frac{{a}_{n+1}}{2n+5}$-$\frac{{a}_{n}}{2n+3}$=$lg（1+\frac{1}{n}）$=lg（n+1）-lgn，
设${b}_{n}=\frac{{a}_{n}}{2n+3}$，则${b}_{n+1}-{b}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{2n+5}-\frac{{a}_{n}}{2n+3}$=lg（n+1）-lgn，
由a₁=5得，${b}_{1}=\frac{{a}_{1}}{2+3}$=1，
所以当n≥2时，
b₂-b₁=lg2-lg1，b₃-b₂=lg3-lg2，…，b_n-b_n-1=lgn-lg（n-1），
以上n-1个式子相加得，b_n-b₁=lgn-lg1，
则b_n=b₁+lgn=lgn+1，
所以b₁₀₀=lg100+1=3，即数列$\{\frac{{a}_{n}}{2n+3}\}$的第100项是3，
故选B．

点评 本题考查了数列递推公式的化简以及应用，累加法求数列的通项公式，考查化简、变形能力．