Question

16．已知在三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°，$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，若P是BC边上的动点，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，3]
• B． $[{-\frac{2}{3}，3}]$
• C． $[{-\frac{2}{3}，\frac{10}{3}}]$
• D． $[{-1，\frac{10}{3}}]$

Answer 1

分析 利用余弦定理求得AB、AC的值，再根据E是线段BC较靠近点C的一个四等分点，利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量数量积的运算求得 $\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{12λ-2}{3}$，λ∈[0，1]，从而求得它的取值范围．

解答 解：设AB=AC=x，则由BC=4，∠BAC=120°，
利用余弦定理可得16=x²+x²-2x•xcos120°，∴x=$\sqrt{\frac{16}{3}}$．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=x•x•cos120°=-$\frac{8}{3}$．
∵$\overrightarrow{BE}$=3$\overrightarrow{EC}$，∴E是线段BC较靠近点C的一个四等分点，
若P是BC边上的动点，则$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$，λ∈[0，1]，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$）=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BC}$）
=[（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$]•（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$ ）
=$\frac{1-λ}{4}$•${\overrightarrow{AB}}^{2}$+（$\frac{3-3λ}{4}$+$\frac{λ}{4}$）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\frac{3λ}{4}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$ 
=$\frac{1-λ}{4}$•$\frac{16}{3}$+$\frac{3-2λ}{4}$•（-$\frac{8}{3}$）+$\frac{3λ}{4}$•$\frac{16}{3}$=$\frac{12λ-2}{3}$，
故当λ=0时，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$ 取得最小值为-$\frac{2}{3}$，当λ=1时，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$ 取得最大值为$\frac{10}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查余弦定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量数量积的运算，属于中档题．