Question

4．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆经过点（2，1）．试求其长轴长的取值范围．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，将点（2，1）代入，由a＞b，得a的不等式，由此能求出该椭圆的长轴长的范围．

解答 解：不妨设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
将点（2，1）代入得：$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
因为a为半长轴的长，即a＞b，
所以$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}}$＜1，
所以a²＞5，解得a＞$\sqrt{5}$，
故该椭圆的长轴长的范围是：（$2\sqrt{5}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆长轴的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．