Question

14．定义$|{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}|$=ad-bc．若θ是锐角△ABC中最小内角，函数f（θ）=$|{\begin{array}{l}{sinθ}&{cosθ}\\{-1}&1\end{array}}|$，则f（θ）的最大值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意，利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（θ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），可求范围θ∈（0，$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质即可求得最大值．

解答 解：∵由题意可得：f（θ）=$|{\begin{array}{l}{sinθ}&{cosθ}\\{-1}&1\end{array}}|$=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ是锐角△ABC中最小内角，可得：θ∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$），sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴f（θ）=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]．
∴f（θ）的最大值是$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于中档题．