Question

12．设函数y=f（x+1）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，在区间（-∞，0）是减函数，且图象过点（1，0），则不等式（x-1）f（x）≤0的解集为（-∞，0]∪[1，2]．

Answer 1

分析 由题意和偶函数的性质判断出函数f（x）的对称性，由图象平移、f（x+1）的单调性、f（x）法对称性判断出f（x）的单调性，结合条件画出f（x）的图象，根据函数的单调性和图象，求出不等式（x-1）f（x）≤0的解集．

解答 解：∵函数y=f（x+1）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
∴f（x+1）=f（-x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称，
∵函数y=f（x+1）在（-∞，0）上是减函数，
∴函数f（x）在（-∞，1）上是减函数，
在（1，+∞）上是增函数，
则由f（2）=0得f（0）=0，如图所示：
∴当x＞1时，f（x）≤0=f（2），解得1＜x≤2
当x＜1时，f（x）≥0=f（0），得x≤0，即x≤0，
同时，当x=1时，（x-1）f（x）≤0也成立；
综上，等式（x-1）f（x）≤0的解集是（-∞，0]∪[1，2]，
故答案为：（-∞，0]∪[1，2]．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性、对称性的应用，函数图象的平移，以及根据函数的单调性把不等式转化为自变量不等式，考查转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，属于中档题．