Question

2．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：
①MO∥平面PAC；
②PA∥平面MOB；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC．
其中正确的命题的序号是①④．

Answer 1

分析 ①先证明MO∥PA，即可判定MO∥平面PAC；
②PA在平面MOB内，可得①错误；
③可证PA⊥BC，BC⊥平面PAC．即可证明OC⊥平面PAC不成立；
④由③知BC⊥平面PAC，即可证明平面PAC⊥平面PBC．

解答 解：①因为MO∥PA，MO?平面PAC，PA?平面PAC，所以MO∥平面PAC；
②因为PA在平面MOB内，所以①错误；
③因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC．因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面PAC不成立，③错误；
④由③知BC⊥平面PAC，且BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．