Question

14．已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的图象经过三点（0，1），$（\frac{5π}{12}，0）$，$（\frac{11π}{12}，0）$，且在区间$（\frac{5π}{12}，\frac{11π}{12}）$内有唯一的最值，且为最小值．
（1）求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[-m，m]上是单调递增函数，求实数m的最大值；
（3）若关于x的方程f（x）-a+1=0在区间$（0，\frac{π}{2}）$内有两个实数根x₁，x₂（x₁＜x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意利用周期公式可求ω，又由题意当$x=\frac{5}{12}π$时，y=0，结合$0＜φ＜\frac{π}{2}$可解得φ，再由x=0时，y=1，可求A，从而可求函数解析式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得f（x）单调递增区间，由题意[-m，m]⊆[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{m≤\frac{π}{6}}{-m≥-\frac{π}{3}}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，可得m的最大值．
（3）解法1：命题等价于直线y=a，与曲线$g（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$（0$＜x＜\frac{π}{2}$）有两个交点，当0$＜x＜\frac{π}{2}$时，可求g（0）=2，$g（\frac{π}{6}）=3$，$g（\frac{π}{2}）=2$，利用正弦函数的图象可求2＜a＜3，即可得解；
解法2：设t=2x+$\frac{π}{6}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$），则h（t）=2sint+1，t∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），原命题等价于直线y=a与曲线h（t）=2sint+1，t∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）有两个交点，利用正弦函数的单调性可求实数a的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由题意可得函数的周期$T=2（{\frac{11}{12}π-\frac{5}{12}π}）=π$，
∴ω=2，…（1分）
又由题意当$x=\frac{5}{12}π$时，y=0，得$Asin（{2×\frac{5}{12}π+φ}）=0$，
结合$0＜φ＜\frac{π}{2}$可解得$φ=\frac{π}{6}$，…（2分）
再由题意当x=0时，y=1，
∴${A}sin\frac{π}{6}=1$，
∴A=2…（3分）
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．…（4分）
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）在区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）上是增函数，
∴当k=0时，f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函数，…（5分）
若函数f（x）在区间[-m，m]上是单调递增函数，则[-m，m]⊆[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，…（6分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{m≤\frac{π}{6}}{-m≥-\frac{π}{3}}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤$\frac{π}{6}$，…（7分）
∴m的最大值是$\frac{π}{6}$，…（8分）
（3）解法1：方程f（x）-a+1=0在区间$（0，\frac{π}{2}）$内有两实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）等价于直线y=a，与曲线$g（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$（0$＜x＜\frac{π}{2}$）有两个交点．…（9分）
∵当0$＜x＜\frac{π}{2}$时，由（2）知$g（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$在（0，$\frac{π}{6}$]上是增函数，在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上是减函数，…（10分）
且g（0）=2，$g（\frac{π}{6}）=2$，$g（\frac{π}{2}）=2$．
∴2＜a＜3，
∴实数a的取值范围是（2，3），…（12分）
解法2：设t=2x+$\frac{π}{6}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$），则h（t）=2sint+1，t∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
方程f（x）-a+1=0在区间（0，$\frac{π}{2}$）内有两实数根x₁，x₂（x₁＜x₂）等价于直线y=a与曲线h（t）=2sint+1，t∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）有两个交点．…（9分）
h（t）=2sint+1在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$）上是减函数，…（10分）
$且h（\frac{π}{6}）=2$，$h（\frac{π}{2}）=2$，$h（\frac{7π}{6}）=2$，
∴2＜a＜3，即实数a的取值范围是（2，3），…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，不等式的解法及其应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．