Question

3．若直线y=kx+2与曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$有两个公共点，则k的取值范围是$[{-2，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，2}]$．

Answer 1

分析 作出直线y=kx+2与曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$的图象，利用数形结合进行求解即可

解答 解：由y=$\sqrt{1-{x^2}}$得x²+y²=1，（y≥0），对应的轨迹为上半圆，
∵直线y=kx+2过定点A（0，2），

∴当k=±$\sqrt{3}$时，直线y=kx+2与圆x²+y²=1相切，
由图象可知当直线y=kx+2经过点B（-1，0）或C（1，0）时，直线和圆有两个交点，
此时k=±2，
则若直线y=kx+1与曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$恰有两个共同点，
故k∈$[{-2，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，2}]$
故答案为：$[{-2，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，2}]$

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键