Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）-1（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象两相邻对称中心的距离为$\frac{π}{2}$，且f（x）≤$f（\frac{π}{6}）$=1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）-1（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象两相邻对称中心的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
∴f（x）≤$f（\frac{π}{6}）$=1（x∈R ），∴A-1=1，2•$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，∴φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，取φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）当x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）∈[-2，1]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．