Question

20．已知f（x）=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，A为锐角且f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，D为BC中点，AD=3，AB=$\sqrt{3}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求解出A的值，D为BC中点，AD=3，AB=$\sqrt{3}$，利用余弦定理求AC的长．

解答 解：（1）由题可知f（x）=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x$+\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z），
解得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，（k∈Z），
（2）在△ABC中，A为锐角，
f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：A=$\frac{π}{3}$
又因为D为BC中点，以AB、AC为邻边作平行四边形ABEC，
因为AD=3，所以：AE=6，在△ABE中，AB=$\sqrt{3}$，∠ABE=120°
由余弦定理可知：，cos∠ABE=cos120°=$\frac{3+B{E}^{2}-36}{2\sqrt{3}•BE}$，
解得：AC=BE=$\frac{3\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简以及恒等变换公式的应用，还有解三角形的内容，属于中档题．