Question

8．设函数h（x），g（x）在[a，b]上可导，且h′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b时，有（　　）

• A． h（x）＜g（x）
• B． h（x）＞g（x）
• C． h（x）+g（a）＞g（x）+h（a）
• D． h（x）+g（b）＞g（x）+h（b）

Answer 1

分析 比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=h（x）-g（x），研究F（x）在给定的区间[a，b]上的单调性，F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数从而F（x）＜F（b），整理后得到答案．

解答 解：设F（x）=h（x）-g（x），
∵在[a，b]上h'（x）＜g'（x），
F′（x）=h′（x）-g′（x）＜0，
∴F（x）在给定的区间[a，b]上是减函数．
∴当x＜b时，F（x）＞F（b），
即h（x）-g（x）＞h（b）-g（b）
即h（x）+g（b）＞g（x）+h（b）
故选：D．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件构造函数F（x）=h（x）-g（x），进而判断其单调性是解答本题的关键．