Question

9．求函数f（x）=sin²x-2acosx-1的最大值g（a）

Answer 1

分析 利用sin²x+cos²x=1，转化为二次函数求最大值问题．

解答 解：函数f（x）=sin²x-2acosx-1，
可得：函数f（x）=1-coa²x-2acosx-1=-coa²x-2acosx
令cosx=t，（-1≤t≤1）
则函数f（x）=sin²x-2acosx-1转化为h（t）=-t²-2at，
对称轴t=-a，
当-a≤-1时，函数h（t）的最大值为h（-1）=2a-1，即g（a）=2a-1，（a≥1），
当-1＜-a＜1时，函数h（t）的最大值为h（-a）=a²，即g（a）=a²，（1＞a＞-1），
当-a≥1时，函数h（t）的最大值为h（1）=-2a-1，即g（a）=-2a-1，（a≤-1），
∴最大值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-1，（a≥1）}\\{{a}^{2}，（-1＜a＜1）}\\{-2a-1，（a≤-1）}\end{array}\right.$

点评 本题考察了三角函数的有界性和二次函数求最大值的讨论问题．属于中档题．