Question

5．已知函数f（x）=lnx．
（1）若f（x）≤ax在x＞0时恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：$\frac{x}{1+x}$≤f（x+1）在x＞-1时恒成立；
（3）设n∈N^*，证明：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1）．

Answer 1

分析 （1）问题转化为$\frac{lnx}{x}$≤a在（0，+∞）上恒成立，设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；
（2）令ω（x）=$\frac{x}{1+x}$-f（x+1）=$\frac{x}{1+x}$-ln（x+1），根据函数的单调性证明即可；
（3）令x=$\frac{1}{n}$，n∈N^*，则$\frac{1}{n+1}$＜ln$\frac{n+1}{n}$，累加即可．

解答 解：（1）由题设得，$\frac{lnx}{x}$≤a在（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
故g（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，
所以g（x）_max=g（e）=$\frac{1}{e}$，
所以a≥$\frac{1}{e}$．
（2）令ω（x）=$\frac{x}{1+x}$-f（x+1）=$\frac{x}{1+x}$-ln（x+1），
ω′（x）=$\frac{1}{{（1+x）}^{2}}$-$\frac{1}{1+x}$=-$\frac{x}{{（1+x）}^{2}}$，
所以ω（x）在（-1，0）为增函数，在（0，+∞）为减函数，
所以ω（x）≤ω（0）=0，
所以$\frac{x}{1+x}$≤ln（x+1）在x＞-1时恒成立．
（3）在（2）中令x=$\frac{1}{n}$，n∈N^*，则$\frac{1}{n+1}$＜ln$\frac{n+1}{n}$，
故有$\frac{1}{2}$＜ln$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{3}$＜ln$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{4}$＜ln$\frac{4}{3}$，…，$\frac{1}{n+1}$＜ln$\frac{n+1}{n}$，
上述各式相加可得：
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（2•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$…$\frac{n+1}{n}$）=ln（n+1），
故$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1）．

点评 本题考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，训练了利用累加法证明不等式，是压轴题．