Question

17．将函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位、向右平移n（n＞0）个单位，所得到的图象都与函数y=cos2x的图象重合，则m+n的最小值为π．

Answer 1

分析 由题意根据y=Asin（ωx+∅）图象的变换规律，可得平移后的函数为y=cos（2x+2m-$\frac{5π}{6}$）和y=cos（2x-2n-$\frac{5π}{6}$），分别求得m、n的最小值，可得m+n的最小值．

解答 解：将函数$y=sin（2x-\frac{π}{3}）$=cos（$\frac{5π}{6}$-2x）=cos（2x-$\frac{5π}{6}$）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，
所得到的图象对应的函数解析式为y=cos[2（x+m ）-$\frac{5π}{6}$]=cos（2x+2m-$\frac{5π}{6}$）．
若将函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）=cos（2x-$\frac{5π}{6}$）的图象向右平移n（n＞0）个单位，
所得到的图象对应的函数解析式为y=cos[2（x-n）-$\frac{5π}{6}$]=cos（2x-2n-$\frac{5π}{6}$），
根据所的图象与函数y=cos2x的图象重合，可得2m-$\frac{5π}{6}$=2nπ，-2n-$\frac{5π}{6}$=2kπ，其中，n、k∈Z．
故m的最小值为$\frac{5π}{12}$，n的最小值为$\frac{7π}{12}$，故m+n的最小值为$\frac{5π}{12}$+$\frac{7π}{12}$=π，
故答案为：π．

点评 本题考查y=Asin（ωx+∅）图象的变换，判断平移后的函数为y=cos（2x+2m-$\frac{5π}{6}$）和y=cos（2x-2n-$\frac{5π}{6}$），是解题的关键，属于中档题．