Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₄=7，且a_n+1=a_n+λn．
（1）求λ的值及数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=a_n+λn，可得a₂=1+λ，a₃=1+3λ，a₄=1+6λ，由a₄=7=1+6λ，解得λ．可得a_n+1-a_n=n．利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=a_n+λn，∴a₂=1+λ，a₃=1+3λ，a₄=1+6λ，
由a₄=7=1+6λ，解得λ=1．∴a_n+1=a_n+n．∴a_n+1-a_n=n．
∴a₁=1，a₂=a₁+1，a₃=a₂+2，a₄=a₃+3，‥‥a_n=a_n-1+（n-1），
以上各式累加得：a_n=1+1+2+3+4+…+（n-1）=$1+\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}$=$\frac{{{n^2}-n+2}}{2}$．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n=$2（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$2（\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}）$，
∴b_n＜2．

点评 本题考查了“裂项求和方法”、等差数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．