Question

11．定义实数a，b间的计算法则如下a△b=$\left\{\begin{array}{l}a，\;\;a≥b\\{b^2}，a＜b\end{array}$．
（1）计算2△（3△1）；
（2）对0＜x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断x△（y△z）与（x△y）△z的大小，并说明理由；
（3）写出函数y=（1△x）+（2△x），x∈R的解析式，作出该函数的图象，并写出该函数单调递增区间和值域（只需要写出结果）．

Answer 1

分析 （1）先求出3△1，再求出2△（3△1）的值即可；
（2）分别求出x△（y△z）和（x△y）△z的值，讨论y²与z的大小即可；
（3）讨论x的大小，分x≥2，x＜1，1≤x＜2，求得函数式，画出函数图象，即可得到该函数单调递增区间和值域．

解答 解：（1）实数a，b间的计算法则如下a△b=$\left\{\begin{array}{l}a，\;\;a≥b\\{b^2}，a＜b\end{array}$．
则2△（3△1）=2△3=3²=9；
（2）对0＜x＜z＜y的任意实数x，y，z，
x△（y△z）=x△y=y²，
（x△y）△z=y²△z，
此时若y²≥z，则（x△y）△z=y²；
若y²＜z，则（x△y）△z=z²．
即若y²≥z，则x△（y△z）=（x△y）△z；
若y²＜z，则x△（y△z）＞（x△y）△z．
（3）当x＞2时，y=（1△x）+（2△x）=x²+x²=2x²；
当1＜x≤2时，y=（1△x）+（2△x）=x²+2；
当x≤1时，y=（1△x）+（2△x）=1+2=3．
即有y=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≤1}\\{{x}^{2}+2，1＜x≤2}\\{2{x}^{2}，x≥2}\end{array}\right.$，
画出函数y的图象，如右：
该函数单调递增区间为（1，2），（2，+∞）；
值域为[3，+∞）．

点评 本题考查了新定义的理解和运用，考查分类讨论思想方法，以及数形结合思想方法，是一道中档题．