Question

8．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-3，且f（0）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=-2x+m，且y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=2得c=2，由f（x+1）-f（x）=2x-3，得2ax+a+b=2x-3，解方程组求出a，b的值，从而求出函数的解析式；
（2）若y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象上方，则x²-4x+2＞-2x+m恒成立，进而可得实数m的范围．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=2得c=2，
故f（x）=ax²+bx+2．
因为f（x+1）-f（x）=2x-3，
所以a（x+1）²+b（x+1）+2-（ax²+bx+2）=2x-3．
即2ax+a+b=2x-3，
即2a=2，a+b=-3，
解得：a=1，b=-4，
∴f（x）=x²-4x+2；
（2）若y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象上方，
则x²-4x+2＞-2x+m恒成立，
即m＜x²-2x+2恒成立，
当x=1时，x²-2x+2取最小值1，
故m＜1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．