Question

8．已知正n棱锥的体积V为定值，试确定其侧面与底面所成的二面角的大小，使得正n棱锥的表面积取得最小值．

Answer 1

分析 设其侧面与底面所成的二面角的大小为α，以正四棱锥为例，设正四棱锥的底面正方形的边长为2a，高为h，建立关系，利用基本不等式求解表面积最小时的体积与边长的关系，从而确定其侧面与底面所成的二面角的大小．

解答 解：设其侧面与底面所成的二面角的大小为α，以正四棱锥为例，体积V为定值，设正四棱锥的底面正方形的边长为2a，高为h，
则侧面的高为h′=$\sqrt{{h}^{2}+{a}^{2}}$，
棱锥的体积V=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}$4a²h，则${a}^{2}=\frac{3v}{4h}$
表面积S=4×$\frac{1}{2}$×h′×2a=4a×h′=4a$\sqrt{{h}^{2}+{a}^{2}}$=4×$\sqrt{\frac{3V}{4h}×（{h}^{2}-\frac{3V}{4h}）}$=4×$\sqrt{\frac{3Vh}{4}+\frac{9{V}^{2}}{16{h}^{2}}}$
∵$\frac{3Vh}{8}+\frac{3Vh}{8}+\frac{9{V}^{2}}{16{h}^{2}}$≥3×$\root{3}{\frac{3V×3V×9{V}^{2}}{64×16}}$=$\frac{9V}{4}\root{3}{\frac{3V}{16}}$，
（当且仅当$\frac{3Vh}{8}=\frac{9{V}^{2}}{16{h}^{2}}$时，即h=$\root{3}{\frac{3V}{2}}$取等号）．
而此时侧面与底面所成的二面角α，有$tanα=\frac{h}{a}$，
可得：$tanα=\frac{4（\frac{3}{2}V）^{\frac{2}{3}}}{3V}$
故得：侧面与底面所成的二面角α=arctan（$\frac{4（\frac{3}{2}V）^{\frac{2}{3}}}{3V}$）．

点评 本题考察了正n棱锥的体积V与底面积，表面积之间的关系，基本不等式求解表面积最小时的体积与边长的关系，从而确定其侧面与底面所成的二面角的大小是解题的关键．属于中档题．