Question

18．已知△ABC的顶点A，B在圆x²+y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（2）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）由AB边通过坐标原点O，能求出|AB|=4，直线AB的方程为y=x，求出直线AB与l间的距离，由此能求出△ABC的面积．
（2）设直线AB的方程为y=x+m，则|BC|=$\frac{|m-2|}{{\sqrt{2}}}$，由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出边AC的长最大时，AB所在直线的方程．

解答 解：（1）∵△ABC的顶点A，B在圆x²+y²=4上，C在直线l：y=x+2上，
且AB∥l，AB边通过坐标原点O时，
∴|AB|=4，------（1分）
此时直线AB的方程为y=x，
∴直线AB与l间的距离为$d=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，------（1分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．------（2分）
（2）设直线AB的方程为y=x+m，
则|BC|=$\frac{|m-2|}{{\sqrt{2}}}$，------（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-4=0①，------（1分）
△=4m²-8（m²-4）＞0，
∴$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，------（1分）
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程①的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-m\\{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{2}\end{array}\right.$------（1分）
∴|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{{m^2}-2（{m^2}-4）}=\sqrt{16-2{m^2}}$------（1分）
∴|AC|²=|AB|²+|BC|²=$-\frac{3}{2}{m^2}-2m+18$------（1分）
当$m=-\frac{2}{3}$时，|AC|²取得最大值，即|AC|取最大值，------（1分）
此时直线AB的方程为$y=x-\frac{2}{3}$．------（1分）

点评 本题考查线段长及三角形面积的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程、圆的性质的合理运用．