Question

13£®ÒÑÖªº¯Êýf£¨x£©=x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$£¬ÈôÊýÁÐ{b_n}Âú×㣺b₁=1£¬b_n+1=2f£¨b_n£©£¨n¡ÊN^*£©£®Èô¶Ô?n¡ÊN^*£¬¶¼?M¡ÊZ£¬Ê¹µÃ$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+¡­+$\frac{1}{{b}_{n}}$£¼Mºã³ÉÁ¢£¬ÔòÕûÊýMµÄ×îСֵÊÇ£¨¡¡¡¡£©

• A£® 2
• B£® 3
• C£® 4
• D£® 5

Answer 1

·ÖÎö Ïȸù¾ÝÊýÁеĺ¯ÊýÌØÕ÷£¬µÃµ½b_n+1=2f£¨b_n£©=2b_n²-b_n+$\frac{1}{2}$£¬ÕûÀí¿ÉµÃ$\frac{1}{2{b}_{n}}$=$\frac{1}{2{b}_{n}-1}$-$\frac{1}{2{b}_{n+1}-1}$£¬ÔÙÀûÓÃÁÑÏîÇóºÍ¼´¿ÉµÃµ½$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+¡­+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2£¨1-$\frac{1}{2{b}_{n+1}-1}$£©£¬ÓÉÒÑÖªº¯ÊýµÃµ½ÊýÁÐΪÔöÊýÁУ¬¸ù¾ÝÊ×ÏîÇÒb₁=1£¬ÀûÓ÷ÅËõ·¨¼´¿ÉÇó³ö´ð°¸£®

½â´ð ½â£ºº¯Êýf£¨x£©=x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$£¬
¡àb_n+1=2f£¨b_n£©=2b_n²-b_n+$\frac{1}{2}$£¬
¡à2b_n+1=4b_n²-2b_n+1£¬
¡à2b_n+1=2b_n£¨2b_n-1£©+1
¡à2b_n+1-1=2b_n£¨2b_n-1£©£¬
¡à$\frac{1}{2{b}_{n+1}-1}$=$\frac{2}{2{b}_{n}£¨2{b}_{n}-1£©}$=$\frac{1}{2{b}_{n}-1}$-$\frac{1}{2{b}_{n}}$
¡à$\frac{1}{2{b}_{n}}$=$\frac{1}{2{b}_{n}-1}$-$\frac{1}{2{b}_{n+1}-1}$£¬
¡à$\frac{1}{2}$£¨$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+¡­+$\frac{1}{{b}_{n}}$£©=$\frac{1}{2{b}_{1}-1}$-$\frac{1}{2{b}_{2}-1}$+$\frac{1}{2{b}_{2}-1}$+$\frac{1}{2{b}_{3}-1}$+$\frac{1}{2{b}_{n}-1}$-$\frac{1}{2{b}_{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{2{b}_{n+1}-1}$£¬
¡à$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+¡­+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2£¨1-$\frac{1}{2{b}_{n+1}-1}$£©£¬
ÓÉf£¨x£©=x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$¿ÉÖªb_nΪÔöÊýÁУ¬ÇÒb₁=1£¬
¡à2£¨1-$\frac{1}{2{b}_{n+1}-1}$£©£¼2£¬
¹ÊÕûÊýMµÄ×îСֵÊÇ2£¬
¹ÊÑ¡£ºA

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