Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{m{x}^{2}+（m+n）x+1}{2}$（x∈R），且f（x）有两个极值点x₁，x₂，满足x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），点P（m，n）在平面直角坐标系中表示的平面区域为D，若函数y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（1，3）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到关于m，n的不等式组，画出满足条件的平面区域，结合图象求出a的范围即可．

解答 解：求导函数可得f'（x）=x²+mx+$\frac{1}{2}$（m+n），
依题意知，方程f'（x）=0有两个根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
构造函数f（x）=x²+mx+$\frac{1}{2}$（m+n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n＞0}\\{2+3m+n＜0}\end{array}\right.$，
如图示：

∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（-1，1）
∴要使函数y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，
则必须满足1＜log_a（-1+4）
∴log_a3＜1，解得a＜3
又∵a＞1，
∴1＜a＜3，
故答案为：（1，3）．

点评 本题考查了线性规划问题，考查导数的应用以及对数函数的性质，是一道中档题．