Question

11．已知（a+e）x-1-lnx≤0（e是自然对数的底数）对任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]都成立，则实数a的最大值为-e．

Answer 1

分析 问题转化为a（ $\frac{1+lnx}{x}$-e）_min对于任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]恒成立，设f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-e，求出函数f（x）的最小值即可求出a的最大值．

解答 解：（a+e）x-1-lnx≤0对于任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]恒成立
?a≤$\frac{1+lnx}{x}$-e对于任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]恒成立
?a≤（ $\frac{1+lnx}{x}$-e）_min对于任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]恒成立
设f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-e，x∈[$\frac{1}{e}$，2]，则f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{e}$≤x＜1，令f′（x）＞0，解得：1＜x≤2，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）递增，在（1，2]递减，
∴f（$\frac{1}{e}$）或f（2）最小，
而f（$\frac{1}{e}$）=-e，f（2）=$\frac{1}{2}$（1+ln2）-e，
∴f（$\frac{1}{e}$）＜f（2），
∴a的最大值是-e，
故答案为：-e．

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、等价转化思想与导数法求极值的综合应用，求得f（x）的最小值是关键，属于中档题．