Question

19．如图，在四面体ABCD中，AB=1，AC=2，AD=3，∠DAB=∠DAC=60°，∠BAC=90°，G为△DBC的重心，则AG=$\frac{\sqrt{23}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知求解直角三角形可得DE、AE的长，由余弦定理求得cos∠ADG，在△ADG中，再由余弦定理求得AG．

解答 解：∵AB=1，AC=2，AD=3，∠DAB=∠DAC=60°，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{5}$，DB=$\sqrt{9+1-2×3×1×cos60°}$=$\sqrt{9+1-2×3×1×\frac{1}{2}}=\sqrt{7}$，
DC=$\sqrt{9+4-2×3×2×cos60°}$=$\sqrt{9+4-2×3×2×\frac{1}{2}}=\sqrt{7}$，
∴DE=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{23}}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在△ADE中，有cos∠ADG=$\frac{9+（\frac{\sqrt{23}}{2}）^{2}-\frac{5}{4}}{2×3×\frac{\sqrt{23}}{2}}=\frac{9\sqrt{23}}{46}$，
∵DG=2GE，∴DG=$\frac{\sqrt{23}}{3}$，
∴在△ADG中，AG=$\sqrt{9+\frac{23}{9}-2×3×\frac{\sqrt{23}}{3}×\frac{9\sqrt{23}}{46}}=\frac{\sqrt{23}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{23}}}{3}$．

点评 本题考查空间距离的计算，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，是中档题．