Question

20．在△ABC中，CB=3，C A=4，|${\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}}$|=|${\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}}$|，M是线段AB上的动点（含 A，B两个端点）．若$\overrightarrow{C{M}}$=x$\overrightarrow{C{A}}$+y$\overrightarrow{C{B}}$，（x，y∈R），则|x$\overrightarrow{C{A}}$-y$\overrightarrow{C{B}}}$|的取值范围是[$\frac{12}{5}$，4]．

Answer 1

分析 如图所示，由已知可得∠C=90°．斜边AB上的高h=$\frac{12}{5}$．而$\overrightarrow{C{M}}$=x$\overrightarrow{C{A}}$+y$\overrightarrow{C{B}}$=（3y，4x），可得|$\overrightarrow{C{M}}$|=$\sqrt{9{y}^{2}+16{x}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]．即可得出|x$\overrightarrow{C{A}}$-y$\overrightarrow{C{B}}}$|的取值范围．

解答 解：如图所示，

∵BC=3，CA=4，AB=5，3²+4²=5²，
∴∠C=90°．
∴斜边AB上的高h=$\frac{12}{5}$．
∵$\overrightarrow{C{M}}$=x$\overrightarrow{C{A}}$+y$\overrightarrow{C{B}}$=x（0，4）+y（3，0）=（3y，4x），
∴|$\overrightarrow{C{M}}$|=$\sqrt{9{y}^{2}+16{x}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]．
∵x$\overrightarrow{C{A}}$+y$\overrightarrow{C{B}}$=x（0，4）+y（3，0）=（3y，4x），
则|x$\overrightarrow{C{A}}$-y$\overrightarrow{C{B}}}$|=|x（0，4）-y（3，0）|=|（-3y，4x）|=$\sqrt{9{y}^{2}+16{x}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]，
故答案为：[$\frac{12}{5}$，4]．

点评 本题考查了向量坐标运算、数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．