Question

3．图中的三个正方形块中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{a_n}，根据着色的规律，则a₄=585，数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{{8}^{n}-1}{7}$．

Answer 1

分析 先根据图形求出前后两图的递推关系，然后利用叠加法进行求解，再利用等比数例，求出数列的通项公式．

解答 解：根据图形可知  a₁=1，a₂=1+8，a₃=1+8+8×8，a₄=1+8+8×8+8×8×8=585，
不难发现：a_n+1-a_n=8ⁿ，
当n≥2时，
则有：a_n-a_n-1=8^n-1，
a_n-1-a_n-2=8^n-2
…
…，
a₂-a₁=8¹，
等式叠加，
可得：a_n-a₁=8^n-1+8^n-2+…+8¹
∴a_n=a₁+（8^n-1+8^n-2+…+8¹）
a_n=1+$\frac{8（1-{8}^{n-1}）}{1-8}$=$\frac{{8}^{n}-1}{7}$
当n=1时，a₁=1，满足条件，
故答案为：585，$\frac{{8}^{n}-1}{7}$

点评 本题主要考查了等比数列的求和，数列中的叠加法求通项，以及识图能力和运算推理能力．