Question

10．已知函数f（x）=ax²+blnx在x=1处有极值$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=2ax+$\frac{b}{x}$．由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+0=\frac{1}{2}}\\{{f}^{′}（1）=2a+b=0}\end{array}\right.$，解得a，b．
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，f′（x）=x-$\frac{1}{x}$．函数定义域为（0，+∞）．令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分别解出即可得出单调区间．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+$\frac{b}{x}$．
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+0=\frac{1}{2}}\\{{f}^{′}（1）=2a+b=0}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{2}$，b=-1．
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，f′（x）=x-$\frac{1}{x}$．
函数定义域为（0，+∞）．
令f′（x）＞0，$x-\frac{1}{x}$＞0，即（x+1）（x-1）＞0，又x＞0，解得x＞1．∴单增区间为（1，+∞）．
令f′（x）＜0，x-$\frac{1}{x}$＜0，解得0＜x＜1，
∴单减区间为（0，1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．