Question

11．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（2）若存在x₀∈R，使得f（x₀）≥$\frac{1}{2}$g（x₀），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=-1时，可由f（x）≤g（x）得到|x+1|≤2|x|-1，讨论x取值，去绝对值号即可得到三个不等式组，解不等式组并求并集即可得出原不等式的解集；
（2）根据条件便可得到：存在x₀∈R，使得$\frac{a}{2}≤|{x}_{0}+1|-|{x}_{0}|$，可设h（x）=|x+1|-|x|，去绝对值号即可求出h（x）的最大值为1，从而得出$\frac{a}{2}≤1$，这样即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=-1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|-1；
从而$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-x-1≤-2x-1}\end{array}\right.$，即x≤-1；
或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x≤0}\\{x+1≤-2x-1}\end{array}\right.$，即$-1＜x≤-\frac{2}{3}$；
或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x+1≤2x-1}\end{array}\right.$，即x≥2；
∴不等式f（x）≤g（x）的解集为$\{x|x≤-\frac{2}{3}，或x≥2\}$；
（2）存在x₀∈R，使得$f（{x}_{0}）≥\frac{1}{2}g（{x}_{0}）$，即存在x₀∈R，使得$|{x}_{0}+1|≥|{x}_{0}|+\frac{a}{2}$；
即存在x₀∈R，使得$\frac{a}{2}≤|{x}_{0}+1|-|{x}_{0}|$；
设$h（x）=|x+1|-|x|=\left\{\begin{array}{l}{-1}&{x≤-1}\\{2x+1}&{-1＜x≤0}\\{1}&{x＞0}\end{array}\right.$，则h（x）的最大值为1；
∴$\frac{a}{2}≤1$；
即a≤2；
∴实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评 考查含绝对值不等式的解法，以及分段函数最值的求法．