Question

5．已知函数$f（x）=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}），x∈R$．
（1）求它的周期；
（2）求f（x）最大值和此时相应的x的值；
（3）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由解析式和三角函数的周期公式求出函数的周期；
（2）由正弦函数的最大值和整体思想求出答案；
（3）由正弦函数的增区间和整体思想，求出f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）由题意得，T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
∴函数f（x）的周期是4π；
（2）当$in（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）=1$ 时，f（x）取到最大值是f（x）_max=2，
此时$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z），解得$x=\frac{π}{3}+4kπ，k∈z$；
（3）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{5π}{3}+4kπ≤x≤\frac{π}{3}+4kπ，k∈z$，
∴f（x）的单调增区间是$[-\frac{5π}{3}+4kπ，\frac{π}{3}+4kπ]（k∈z）$．

点评 本题考查了由正弦函数的增区间、最值，以及三角函数的周期公式，考查整体思想，化简、计算能力．