Question

17．如图①，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥CD，AB=AE=$\frac{1}{3}$CD，F为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如图②，且平面PAE⊥面ABCE．

（1）求证：面PAF⊥面PBE
（2）求直线PF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AEFB为正方形，可证得BE⊥AF；再利用面面垂直的性质，证得线面垂直，再得PE⊥AF，由此可证AF⊥平面PBE，从而证明面面垂直；
（2）求出$\overrightarrow{PF}$，平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求直线PF与平面PBC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵EF∥AB，AB=EF=$\frac{1}{3}$CD，
∴四边形AEFB为平行四边形，又AE=AB，AE⊥CD，
∴四边形AEFB为正方形，∴BE⊥AF，
∴平面PAE⊥平面ABCE，PE⊥AE，平面PAE∩平面ABCE=AE，
∴PE⊥平面ABCE，∴PE⊥AF，
又PE∩BE=E，∴AF⊥平面PBE，
∵AF?平面PAF，
∴平面PBE⊥平面PAF；
（2）解：建立如图所示的坐标系，

设AB=4，则P（0，0，4），A（0，4，0），B（4，4，0），C（8，0，0），F（4，0，0），
∴$\overrightarrow{PF}$=（4，0，-4），$\overrightarrow{BC}$=（4，-4，0），$\overrightarrow{PB}$=（4，4，-4），
设$\overrightarrow{a}$=（x，y，z）为平面PBC的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}4x-4y=0\\ 4x+4y-4z=0\end{array}\right.$，
∴令x=1，则$\overrightarrow{a}$=（1，1，2），
∴sinα=$\frac{|\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{a}|}{\left|\overrightarrow{PF}\right|•\left|\overrightarrow{a}\right|}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴直线PF与平面PBC所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的证明，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键