Question

9．已知F₁（-2，0），F₂（2，0）分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且椭圆C过点（-$\sqrt{3}$，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过椭圆C的右焦点F₂且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB的长；
（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）写出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦AB的长；
（3）设AB的中点为M（x₀，y₀），由中点坐标公式求出M的坐标，写出AB的中垂线方程，得到P的坐标，由MP得长度与AB长度的关系列式即可解得点P的坐标．

解答 解：（1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=6，b²=2．
∴椭圆C的方程的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）知，F₂（2，0），则直线l的方程为y=x-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²-6x+3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=3，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{3}^{2}-4×\frac{3}{2}}=\sqrt{6}$；
（3）设AB的中点为M（x₀，y₀）．
∵x₁+x₂=3=2x₀，∴${x}_{0}=\frac{3}{2}$，
∵y₀=x₀-2，∴${y}_{0}=\frac{1}{2}$．
线段AB的中垂线l₁斜率为-1，∴l₁：y=-x+1，
设P（t，1-t），∴|MP|=$\sqrt{（t-\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}-t）^{2}}$=$\sqrt{2}|t-\frac{3}{2}|$|，
当△ABP为正三角形时，|MP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，
得$\sqrt{2}|t-\frac{3}{2}|$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}$，解得t=0或3．
∴P（0，1），或P（3，-2）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．