Question

1．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；
（2）只需求出函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解．

解答 解：（Ⅰ） 因为a=-2时，f（x）=inx+x-1，f′（x）=$\frac{1}{x}$+1．
所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．
所以a=-2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．
（ II）（ i）由f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），
所以f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$，
①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，
∴a≤0不合题意．
②当a≥2即0$＜\frac{2}{a}$≤1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$＜0，在（1，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，
∴a≥2满足题意．
③若0＜a＜2即$\frac{2}{a}＞1$时，由f′（x）＞0，可得1＜x＜$\frac{2}{a}$，由f′（x）＜0，可得x$＞\frac{2}{a}$，
∴f（x）在$（1，\frac{2}{a}）$上单调递增，在$（\frac{2}{a}，+∞）$上单调递减，
∴f（$\frac{2}{a}$）＞f（1）=0，
∴0＜a＜2不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．