Question

11．已知数列{a_n}是首项为a，公差为b的等差数列，数列{b_n}是首项为b，公比为a的等比数列，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，其中a，b，m，n∈N^*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若数列{1+a_m}与数列{b_n}有公共项，将所有公共项按原来顺序排列后构成一个新数列{c_n}，求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）设d_m=$\frac{a_m}{2m}$，m∈N^*，求证：$\frac{1}{{1+{d_1}}}$+$\frac{2}{{（1+{d_1}）（1+{d_2}）}}$+…+$\frac{n}{{（1+{d_1}）（1+{d_2}）…（1+{d_n}）}}$＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设a_m=a+（m-1）b，知b_n=b•a^n-1．由a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，知ab＜a+2b＜3b．由此能求出a．
（Ⅱ）设1+a+（m-1）b=b•a^n-1．由a=2，知3+（m-1）b=b•2^n-1，得到b=$\frac{3}{{2}^{n-1}-（m-1）}$．．由此能求出c_n．
（Ⅲ）先用放缩法得到d_m=$\frac{a_m}{2m}$≥1，再用基本不等式得到1+d_i≥2$\sqrt{{d}_{i}}$＞0，i=1，2，…，k，用累乘法并化简可得不等式的左边，再放缩，得到左边≤$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，设S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法求和，最后放缩即可证明．

解答 解：（I）∵a_m=a+（m-1）b，b_n=b•a^n-1，
由已知可得，a＜b＜a+b＜ab＜a+2b
∴b＜ab，a＞1
∴ab＜a+2b＜3b
又∵b＞0
∴a＜3
∵a为正整数
∴a=2
（II）设1+a_m=b_n，即1+a+（m-1）b=b•a^n-1．
∴3+（m-1）b=b•2^n-1，b=$\frac{3}{{2}^{n-1}-（m-1）}$．
∵b＞a=2，且b∈N*，
∴2^n-1-（m-1）=1．
∴2^n-1=m，且b=3
∴c_n=b_n=3•2^n-1．
（III）证明：由（I）（II）可得a_m=a+b（m-1），且a=2，b＞2，
可知a₁=2，
当m≥2时，_am≥2m，
∴d_m=$\frac{a_m}{2m}$≥1，
∴对任意正整数k，均有d₁•d₂…d_k≥1
由基本不等式可得1+d_i≥2$\sqrt{{d}_{i}}$＞0，i=1，2，…，k，
累乘可得（1+d₁）（1+d₂）…（1+d_k）≥2^k，
则：$\frac{1}{{1+{d_1}}}$+$\frac{2}{{（1+{d_1}）（1+{d_2}）}}$+…+$\frac{n}{{（1+{d_1}）（1+{d_2}）…（1+{d_n}）}}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
令S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{{2}^{\;}}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$＜2，
∴$\frac{1}{{1+{d_1}}}$+$\frac{2}{{（1+{d_1}）（1+{d_2}）}}$+…+$\frac{n}{{（1+{d_1}）（1+{d_2}）…（1+{d_n}）}}$＜2．

点评 本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用放缩法进行证明．注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于难题．