Question

3．已知函数f_n（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（n+1）x²+x（n∈N^*）数列{a_n}满足a_n+1=f_n′（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对一切正整数n，$\frac{1}{{{{（{a_1}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_2}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_3}-2）}^2}}}+…+\frac{1}{{{{（{a_n}-2）}^2}}}＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由求导公式和法则求出f_n′（x），由a_n+1=f_n′（a_n）和a₁=3求出a₂，依次求出a₃和a₄；
（2）由（1）猜想得a_n=n+2，利用数学归纳法证明成立；
（3）由（2）求出a_n-2，对n=1、2时代入数据证明不等式成立，当n≥3时时先化简不等式的左边，再利用放缩法和裂项求和法证明不等式成立．

解答 解：（1）由题意得，f_n′（x）=x²-（n+1）x+1 （1分）
∵a_n+1=f_n′（a_n），a₁=3，
∴a₂=f₁′（a₁）=a₁²-2a₁+1=4，（2分）
a₃=f₂′（a₂）=a₂²-3a₂+1=5，（3分）
a₄=f₃′（a₃）=a₃²-4a₃+1=6；（4分）
（2）猜想a_n=n+2，用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=1+2=3显然成立．（5分）
②假设当n=k（k∈N₊）时猜想成立，
则n=k（k∈N₊）时，a_k=k+2，（6分）
则当n=k+（k∈N₊）时，
a_k+1=f_k′（a_k）=a_k²-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1
=k+3=（k+1）+2
∴当n=k+1时，猜想成立  （8分）
由①②可知对一切n∈N₊，a_n=n+2成立   （9分）
（3）由（2）得，a_n-2=（n+2）-2=n，
当n=1时，$\frac{1}{{{{（{a_1}-2）}^2}}}=\frac{1}{1^2}=1＜\frac{7}{4}$；（10分）
当n=2时，$\frac{1}{{{{（{a_1}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_2}-2）}^2}}}$=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}＜\frac{7}{4}$；（11分）
当n≥3时，$\frac{1}{{{{（{a_1}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_2}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_3}-2）}^2}}}+…+\frac{1}{{{{（{a_n}-2）}^2}}}$
=$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＜$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{（n-1）n}$
=$1+\frac{1}{4}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$，
综上，对一切正整数n有结论成立．（14分）

点评 本题考查了数列的递推公式，数列求和方法：裂项求和法，求导公式和法则，以及数学归纳法，放缩法证明不等式的综合应用，考查化简、变形能力．