Question

13．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，如图，E是棱AA₁上动点，过点D₁，E，B作该正方体的截面与棱CC₁交于点F．设AE=x，则下列关于四棱锥B₁-BFD₁E的命题，其中正确的序号有③④
①底面BFD₁E的面积随着x增大而增大；
②四棱锥B₁-BFD₁E的体积随着x增大先增大后减少；
③底面BFD₁E的面积随着x增大先减少后增大；
④四棱锥B₁-BFD₁E的体积与x取值无关，且总保持恒定不变．

Answer 1

分析 设正方体的棱长为a，由图形可知，当x=0或x=a时，四边形BFD₁E的面积取得最大值为$\sqrt{2}{a}^{2}$，当x=$\frac{a}{2}$时，四边形BFD₁E的面积有最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$，由此判断①错误，③正确；再利用等积法证明四棱锥B₁-BFD₁E的体积与x取值无关，说明②错误，④正确．

解答 解：由图可知，四边形BFD₁E是平行四边形，
设正方体的棱长为a，AE=x（0≤x≤a），
则当x=0或x=a时，四边形BFD₁E的面积取得最大值为$\sqrt{2}{a}^{2}$，
当x=$\frac{a}{2}$时，四边形BFD₁E的面积有最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}{a}^{2}$．
∴①错误，③正确；
四棱锥B₁-BED₁F的体积等于${V}_{{D}_{1}-B{B}_{1}E}+{V}_{{D}_{1}-B{B}_{1}F}$，
∵三角形BB₁E的面积为$\frac{1}{2}{a}^{2}$为定值，三棱锥D₁-BB₁E的高D₁C₁=a，
三角形BB₁F的面积为$\frac{1}{2}{a}^{2}$为定值，三棱锥D₁-BB₁F的高为D₁A₁=a，
∴三棱锥D₁-BB₁E和三棱锥D₁-BB₁F体积为定值，
即四棱锥B₁-BED₁F的体积为定值，
∴②错误，④正确．
∴正确命题的序号是③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．