Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$+ax²+（a+2）x-3有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，2）
• B． （-∞，-1）∪（2，+∞）
• C． [-1，2]
• D． （-∞，-1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 题目中条件：“在R上有两个极值点”，利用导数的意义．即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的根的问题，利用根的判别式大于零解决即可．

解答 解：由题意，函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$+ax²+（a+2）x-3，f′（x）=x²+2ax+a+2，
∵函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$+ax²+（a+2）x-3有两个极值点，
∴方程f′（x）=0必有两个不等根，
∴△＞0，即4a²-4a-8＞0，
∴a＜-1或a＞2
故选：B．

点评 本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数（二次函数）来分析．