Question

18．已知AB是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P₁，P₂，…，P₂₀₀₉，设左焦点为F₁，则$\frac{1}{2010}$（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）=$\frac{2011}{2010}a$．

Answer 1

分析 设右焦点为F₂，由椭圆的定义可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，（1≤i≤2009，i∈N），点P₁，P₂，…，P_n-1 关于y轴成对称分布，|F₁P_i|+|F₁P_2010-i|=2a，|F₁P₁₀₀₅|=a，|F₁A|+|F₁B|=2a，即可求得|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|的值，求得$\frac{1}{2010}$（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）=$\frac{2011}{2010}a$．

解答 解：设右焦点为F₂，由椭圆的定义可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，（1≤i≤2009，i∈N），
由题意知点P₁，P₂，…，P_n-1 关于y轴成对称分布，
∴|F₁P_i|+|F₁P_2010-i|=2a，|F₁P₁₀₀₅|=a，|F₁A|+|F₁B|=2a，
|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|=2a×1004+2a+a=2011a，
$\frac{1}{2010}$（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）=$\frac{2011}{2010}a$，
故答案为：$\frac{2011}{2010}a$．

点评 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的简单几何性质，考查计算能力，属于中档题．