Question

13．已知函数f（x）=|x-2|+2|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞4；
（2）若关于x的不等式f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，从而解出不等式的解集；
（2）画出函数f（x）的图象，通过图象读出即可．

解答 解：（1）当x＜-1时，-3x＞4，解得x＜-$\frac{4}{3}$，∴x＜-$\frac{4}{3}$，
当-1≤x＜2时，x+4＞4，解得x＞0，∴0＜x＜2，
当x≥2时，3x＞4，解得x＞$\frac{4}{3}$，∴x≥2，
综上，原不等式解集为{x|x＜-$\frac{4}{3}$或x＞0}．      
（2）由f（x）的图象和单调性易得f（x）_min=f（-1）=3，
若?x∈R，f（x）≥m恒成立，
则只需f（x）_min≥m⇒m≤3，
故实数m的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，考查数形结合思想，是一道中档题．