Question

8．设F₁、F₂分别为椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，$\frac{3}{2}$）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A是椭圆的右顶点，直线l交椭圆Γ于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．
（Ⅰ） 求椭圆的标准方程；
（Ⅱ） O为坐标原点，若点P满足2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{OF}$，求直线AP的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意，可得2a=4，即a=2，又点$M（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，
将点M（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程可知$\frac{1}{4}+\frac{{\frac{9}{4}}}{b^2}=1$，
解得：b²=3，
∴椭圆Γ的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（3分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知A（2，0），设直线AE的方程为y=k（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0，
由韦达定理可知：2+x_E=$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，可得x_E=$\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$，
y_E=k（x_E-2）=$\frac{-12k}{3+4{k}^{2}}$，
由于AE⊥AF，只要将上式的k换为-$\frac{1}{k}$，
可得x_F=$\frac{8-6{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y_F=$\frac{12k}{4+3{k}^{2}}$，
由2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{OF}$，可得P为EF的中点，
即有P（$\frac{14{k}^{2}}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}$，$\frac{6k（{k}^{2}-1）}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}$），
则直线AP的斜率为t=$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}-2}$=$\frac{k（1-{k}^{2}）}{4{k}^{4}+4+6{k}^{2}}$，
当k=0时，t=0；
当k≠0时，t=$\frac{\frac{1}{k}-k}{4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）+6}$，
再令s=$\frac{1}{k}-k$，可得t=$\frac{s}{4{s}^{2}+14}$，
当s=0时，t=0；当s＞0时，t=$\frac{1}{4s+\frac{14}{s}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{56}}$=$\frac{\sqrt{14}}{56}$，
当且仅当4s=$\frac{14}{s}$时，取得最大值；
当s＜0时，t=$\frac{1}{4s+\frac{14}{s}}$≥-$\frac{\sqrt{14}}{56}$，
综上可得：直线AP的斜率的取值范围是[-$\frac{\sqrt{14}}{56}$，$\frac{\sqrt{14}}{56}$]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．