Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，则该椭圆离心率e的取值范围为$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}-1]$．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，四边形AFF₁B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF₁|=2a，∠ABF=α，则∠AF₁F=α．椭圆的离心率e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）}{4}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$≤$\sqrt{3}$-1，即可求得椭圆离心率e的取值范围．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F₁，连接AF，AF₁，BF，BF₁，
∴四边形AFF₁B为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AF₁|=2a，
∠ABF=α，则：∠AF₁F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα
椭圆的离心率e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴$\frac{5π}{12}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，
则：$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）}{4}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$≤$\sqrt{3}$-1，
∴椭圆离心率e的取值范围：$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}-1]$，
故答案为：$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}-1]$．

点评 本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．