Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-lnx．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域与导数，求出极值点，然后求解函数的极值．
（2）利用（1）求解函数的最值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
且f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，（3分）
令f′（x）=0，可得x=1或x=-1（舍去），当x∈（0，1）时，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，单调递增．
所以f（x）在x=1处取得极小值为$\frac{1}{2}$．   （8分）
（2）由（1）可知函数f（x）在[1，e]上为增函数，（9分）
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$，f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}e{\;}^2-1$．（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值以及函数的最值的求法，考查计算能力．