Question

2．已知函数f（x）=|a²x²-1|+ax，（其中a∈R，a≠0）．
（1）当a＜0时，若函数y=f（x）-c恰有x₁，x₂，x₃，x₄这4个零点，求x₁+x₂+x₃+x₄的值；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x）（其中a＜0）的最大值M（a）．

Answer 1

分析 （1）函数y=f（x）-c的零点可转化为函数f（x）=|a²x²-1|+ax的图象与直线y=c的交点问题，运用绝对值意义和二次函数图象及二次方程韦达定理，即可得到所求值；
（2）运用分段函数表示f（x），结合图象分析函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，1]的最大值．

解答 解：（1）函数y=f（x）-c的零点可转化为
函数f（x）=|a²x²-1|+ax的图象与直线y=c的交点问题．
当a²x²≥1即|x|≥-$\frac{1}{a}$时，f（x）=a²x²+ax-1=（ax+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$；
当a²x²＜1即|x|＜-$\frac{1}{a}$时，f（x）=-a²x²+ax+1=-（ax-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$．
显然当1＜c＜$\frac{5}{4}$时，y=f（x）-c有4个零点，
依次设为x₁，x₂，x₃，x₄，
则x₁，x₄是方程a²x²+ax-1=c的2个根，从而${x_1}+{x_4}=-\frac{1}{a}$，
由x₂，x₃是方程-a²x²+ax+1=c的2个根，知x₂+x₃=$\frac{1}{a}$，
从而x₁+x₂+x₃+x₄=0．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+ax-1，|x|≥-\frac{1}{a}}\\{-{a}^{2}{x}^{2}+ax+1，|x|＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
结合图形分析可得f（x）在$（{-∞，\frac{1}{a}}]$，$[{\frac{1}{2a}，-\frac{1}{a}}]$上单调递减，
在$[{\frac{1}{a}，\frac{1}{2a}}]，[{-\frac{1}{a}，+∞}）$上单调递减，此时M（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=$\frac{5}{4}$．
当$-1＜\frac{1}{a}$，即a＜-1时，f（x）在[-1，$\frac{1}{a}$]，[$\frac{1}{2a}$，-$\frac{1}{a}$]上单调递减，
f（x）在$[{\frac{1}{a}，\frac{1}{2a}}]，[{-\frac{1}{a}，1}]$上单调递增，此时
M（a）=max{f（-1），f（$\frac{1}{2a}$），f（1）}
=max{a²-a-1，$\frac{5}{4}$，a²+a-1}
=max{a²-a-1，$\frac{5}{4}$}=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a-1，a≤\frac{1-\sqrt{10}}{2}}\\{\frac{5}{4}，\frac{1-\sqrt{10}}{2}＜a＜-1}\end{array}\right.$，
综上述，
M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}-a+1，-\frac{1}{2}≤a＜0}\\{\frac{5}{4}，a＜-\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-a-1，a≤\frac{1-\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数零点问题的解法，注意运用数形结合方法，考查化简运算能力，属于难题．