Question

7．已知函数f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$（a＞0，a≠1）．
（1）当a＞1时，讨论f（x）的奇偶性，并证明函数f（x）在（1，+∞）上为单调递减；
（2）当x∈（n，a-2）时，是否存在实数a和n，使得函数f（x）的值域为（1，+∞），若存在，求出实数a与n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数单调性与奇偶性的定义判断；
（2）令$t=\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$，x∈（n，a-2），当a＞1时，要使f（x）的值域为（1，+∞），则须t∈（a，+∞），令$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}=a$，解得${x}_{0}=\frac{a+1}{a-1}$．可得x∈（1，$\frac{a+1}{a-1}$）．则$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{\frac{a+1}{a-1}=a-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{a=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$；当0＜a＜1时，t∈（0，a），则x∈（$\frac{a+1}{a-1}，-1$），得$\left\{\begin{array}{l}{a-2=-1}\\{\frac{a+1}{a-1}=n}\end{array}\right.$，（不合题意）．由此可得存在实数n=1，a=$2+\sqrt{3}$，当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞）．

解答 解：（1）f（x）的定义域为{x|x＜-1或x＞1}，关于原点对称，
又f（-x）=$lo{g}_{a}\frac{1-x}{-1-x}=lo{g}_{a}\frac{x-1}{1+x}=-lo{g}_{a}\frac{x+1}{x-1}=-f（x）$，∴f（x）为奇函数，
证明：当a＞1时，设1＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$lo{g}_{a}\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}-lo{g}_{a}\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$=$lo{g}_{a}\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}$，
∵$\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}-1=\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）-（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}＞0$，
∴$\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}$＞1，又a＞1，∴log_a$\frac{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）}$＞0，则f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（1，+∞）上为减函数；
（2）令$t=\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$，x∈（n，a-2），
①当a＞1时，要使f（x）的值域为（1，+∞），则须t∈（a，+∞），
令$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}=a$，解得${x}_{0}=\frac{a+1}{a-1}$．∴x∈（1，$\frac{a+1}{a-1}$）．
故有$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{\frac{a+1}{a-1}=a-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{a=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$；
②当0＜a＜1时，t∈（0，a），则x∈（$\frac{a+1}{a-1}，-1$），∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=-1}\\{\frac{a+1}{a-1}=n}\end{array}\right.$，（不合题意）．
综上所述，存在实数n=1，a=$2+\sqrt{3}$，当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞）．

点评 本题是函数的单调性与奇偶性的综合题，考查函数单调性与奇偶性的判定方法，考查了函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．